Sistema de Ecuaciones de 3 incógnitas.

EJEMPLO: 

x + 4y  –2z = – 5   …. Ecuación 1

3x –6y +3z = 12   ….. Ecuación 2

–2x + 3y –z =–6   ….. Ecuación 3

Solución

·        OBSERVO:   Se escoge una de las ecuaciones para que sea la “Ecuación Pivote”  y se elije la variable a eliminar.

Decido elegir la variable “x” y utilizar la Ecuación 1 de “Ecuación Pivote”.  

¿Por qué decidí la Ecuación 1 y la variable “x”?

Al no tener coeficiente la variable “x”  en la Ecuación 1, resulta más fácil hacer las reducciones.

·        1ra. REDUCCIÓN:   Utilizando “la Ecuación Pivote” y una de las ecuaciones del sistema, se reduce eliminando la variable elegida y se obtiene   una ecuación lineal de dos variables.

La primera reducción la vamos hacer  utilizando la Ecuación Pivote y la Ecuación 2.

Eliminando la variable “x”:

x + 4y  –2z = – 5          Ecuación 1 (Pivote)

3x –6y +3z = 12           Ecuación 2

Multiplicando la Ecuación 1 por (-3) quedaría:

(– 3 )(x + 4y  –2z = – 5)

–3x –12y + 6z = 15

Reduciendo:

Ecuación encontrada:   –18y + 9z =27

·        2da. REDUCCIÓN:  Utilizando “la Ecuación Pivote” y la ecuación faltante del sistema, se reduce eliminando la variable elegida y se obtiene  otra ecuación lineal de dos variables.

Para la segunda reducción se utiliza “la Ecuación Pivote” y  la ecuación faltante, es decir… la Ecuación 3.

x + 4y  –2z = – 5       Ecuación 1  (Pivote)

–2x + 3y –z =–6          Ecuación 3

Multiplicando la Ecuación Pivote por (2) para eliminar la variable “x”:

2 ( x + 4y  –2z = – 5)

2x + 8y –4z = –10

Reduciendo:

Ecuación encontrada:   11y –5z =–16

·        Se anotan las dos ecuaciones lineales de dos incógnitas encontradas.

–18y + 9z =27      Ecuación A

11y –5z =–16     Ecuación B

·        3ra. REDUCCIÖN.  Se elige nuevamente una variable a eliminar y se aplica nuevamente el Método de Reducción para obtener una ecuación lineal.

Si queremos eliminar “Z”, la Ecuación A tiene que multiplicarse por (5)  y la Ecuación B, tiene que multiplicarse por (9)

Multiplicando la Ecuación A por (5) :

5( –18y + 9z =27  )

–90y + 45 z = 135

Multiplicando la Ecuación B por (9)

9(11y –5z =–16)

99y –45z =–144

Reduciendo:

·        Se resuelve la ecuación lineal y se encuentra el valor de una de las variables.

9y = – 9

y = – 9/ 9 = – 1

y= –1

·        Se sustituye el valor de la incógnita en alguna de las ecuaciones lineales de dos incógnitas encontradas para hallar el valor de la segunda variable.

Sustituyendo el valor de  “y=–1” en la Ecuación A:

–18y + 9z =27      Ecuación A

–18(– 1) + 9z =27     

18 + 9z =27

9z = 27 –  18

9z =  9

z = 9/9 = 1

z =  1

·        Se encuentra el valor de la variable faltante, sustituyendo los valores de las dos variables en alguna de las ecuaciones iniciales.

Sustituyendo el valor de “y =–1”   y  “ z=1 “    en la Ecuación 1:

x + 4y  –2z = – 5

x + 4(–1) –2(1) = –5

x –4 –2=–5

x –6 = –5

x= –5 + 6

x=1

Respuesta

x=1

y= –1

z =  1